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已知椭圆C以过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0)、(

文章编辑:凉山州网(www.liangshanzhou.com)  时间:2014-12-16 22:10:04 浏览:   【】【】【
已知椭圆C以过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0)、(1,
已知椭圆C以过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0)、(1,0)。
(1)求椭圆C的方程。
(2)E、F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。
正确答案:
 
考点:椭圆
解:(1)a²-b²=c² =1
设椭圆方程为x²/(b²+1)+y²/b²=1
将(1,3/2)代入整理得4b^4-9b²-9=0 解得b²=3 (另一值舍)
所以椭圆方程为x²/4+y²/3=1
(2)
设AE斜率为k
则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①
x²/4+y²/3=1 ②
①,②联立得出两个解一个是A(1,3/2)另一个是E(x1,y1)
①代入②消去y得(1/4+k²/3)x²-(2k²/3-k)x+k²/3-k-1/4=0
根据韦达定理 x1·1=(k²/3-k-1/4)/(1/4+k²/3)③
将③的结果代入①式得
y1=(-k²/2-k/2+3/8)/(1/4+k²/3)

设AF斜率为-k,F(x2,y2)
则AF方程为y-(3/2)=-k(x-1)④
x²/4+y²/3=1 ②
②④联立同样解得
x2=(k²/3+k-1/4)/(1/4+k²/3)
y2=(-k²/2+k/2+3/8)/(1/4+k²/3)
EF斜率为
(y2-y1)/(x2-x1)=1/2
所以直线EF斜率为定值,这个定值是1/2。

补充练习:







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